Fußball, Physik und Statistik

Der Physikprofessor Metin Tolan hat ein hoch interessantes Buch über die Physik des Fußballspiels geschrieben („So werden wir Weltmeister“, 16,95 Euro bei Piper). Sehr anschaulich beschreibt er dort, wie sich Erkenntnisse der Physik und der Stochastik auf den Fußball anwenden lassen.

Nur an einer Stelle bin ich etwas über den Text gestolpert. Da geht es um die Frage, warum es bei Spielen mit vielen Toren weniger Unentschieden gibt. Metin Tolan bringt als Beispiel ein Spiel mit insgesamt zwei Toren. Wenn die Ergebnisse 2:0, 1:1 und 0:2 gleichverteilt sind, heißt es dort, ist die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden ein Drittel. Das ist richtig. Aber warum sollten die drei Ergebnisse gleichverteilt sein? Das wäre nur dann der Fall, wenn beide Mannschaften eigentlich gleich stark sind, die Mannschaft, die das Führungstor schießt aber durch den Treffer so motiviert ist, dass sie anschließend mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit ein zweites Tor schießt.

Nun möchte ich gar nicht behaupten, Professor Tolan wüsste es nicht besser. Er beweist in dem Buch, dass er von Stochastik etwas versteht. Vermutlich wollte er den Sachverhalt einfach etwas verkürzen, um mehr Platz für Bessel-Funktionen und ähliches zu haben. Schauen wir uns deshalb an seiner statt mal die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden bei einer gegebenen Zahl von Toren und einer gleich großen Torwahrscheinlichkeit an. Wir gehen dabei davon aus, dass das Fallen jedes weiteren Tores unabhängig von den davor gefallenen ist, ähnlich wie beim Werfen einer Münze. Ob der erste Wurf Kopf oder Zahl ergeben hat, beeinflusst den zweiten nicht.

Nach dem ersten Trefffer gibt es genau zwei gleich wahrscheinliche Möglichkeiten: Das die gleiche Mannschaft noch mal trifft oder aber der Gegner. Das 1:1 ist also doppelt so wahrscheinlich wie ein 0:2 oder ein 2:0, denn genau genommen verbergen sich hinter diesem Ergebnis zwei Ereignisse: Mannschaft A schießt das erste Tor und Mannschaft B den Ausgleich oder umgekehrt. Bei einem 2:0 gibt es nur genau eine Möglichkeit: Mannschaft A schießt das erste und das zweite Tor.

Bei drei Treffern kann es kein Unentschieden geben, also interessiert uns das nicht. Ein 4:0 hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/16. Denn in 50 Prozent der Fälle schießt Mannschaft A das erste Tor, in 50 Prozent dieser Fälle auch das zweite und so weiter. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2*1/2*1/2*1/2. Gleiches gilt für das 0:4

Bei der Wahrscheinlichkeit für ein 3:1 ist man versucht, genaus zu rechnen. Tatsächlich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Mannschaft A erst drei Tore schießt und dann Mannschaft B das 3:1 erzielt ebenfalls 1/16. Allerdings könnte Mannschaft B ja auch zuerst geführt und dann drei Gegentreffer kassiert haben. Am einfachsten ist es, wenn man nur den Verlierer anschaut. Dessen Tor könnte als ersters, als zweite, drittes oder viertes Tor im Spiel fallen. Es gibt also vier Möglichkeiten, daher haben wir für dieses Ergebnis (und natürlich auch für das 1:3) eine Wahrscheinlichkeit von 4/16 oder 1/4.

Bleibt rechnerisch eine Wahrscheinlichkeit von 6/16 für ein Unentschieden. Man kann das aber auch errechnen. Wie bei der Wahrscheinlichkeit für das 3:1 betrachten wir auch hier nur eine Mannschaft, die Tore der zweiten ergeben sich dann zwingend. Mannschaft A könnte ihr erstes Tor gleich zu Beginn schießen, also mit 1:0 in Führung gehen. Es könnte aber auch erst das zweite oder dritte Tor im Spiel von ihr geschossen werden. Geht Mannschaft A mit 1:0 in Führung, gibt es drei Möglichkeiten, das zweite Tor zu schießen (2:0, 2:1, 2:2). Gleicht sie aber mit dem ersten Tor 1:1 aus, gibt es für das zweite Tor nur  noch zwei Möglichkeiten (2:1, 2:2), lag sie zunächst 0:2 hinten, sogar nur eine. Also gibt es 6 Möglichkeiten mit je einer Wahrscheinlichkeit von 1/16. Also ist die Wahrscheinlichkeit bei vier Toren mit 6/16 tatsächlich geringer als bei zwei Toren mit 1/2 oder 8/16.