Macht Pik Ass den Unterschied?

Aus den 1950er Jahren stammt ein scheinbares Paradoxon. Es geht um ein Kartenspiel, bei dem es nur vier Karten gibt und ein Spieler zwei Karten erhält. Unter den vier Karten sind zwei Asse und zwei Zweier. Nun geht es um die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Spieler zwei Asse hat. Die Antwort lautet natürlich 1/6. Nun verrät uns der Spieler im einen Fall, dass er mindestens ein Ass auf der Hand hat, im anderen dass er ein Pik Ass auf der Hand hat. Das Paradoxon liegt darin, dass es scheinbar einen Unterschied macht, ob er uns die Farbe der Ass verrät und die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse einmal 1/5 und einmal 1/3 beträgt, obwohl die Farbe eigentlich keine Rolle spielt.

Das Problem wurde von Anna-Liesa Lange und Philipp Otto zitiert. Sie nutzen es, um die Bedeutung der Baysschen Statistik zu unterstreichen. Man braucht aber Bayes gar nicht, auch mit Hilfe der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt sich zeigen, dass die Farbe der Ass, wie logisch zu erwarten, keinen Unterschied macht. Aber der Reihe nach.

Pik Ass Paradoxon
Im Skat-Blatt gibt es keine Zwei, aber zwei Königen statt zwei Zweiern ist das Problem das gleiche.

Warum ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse überhaupt 1/6 und nicht 1/4 wie beim doppelten Münzwurf? Ganz einfach, es handelt sich hier um das Äquivalent zum Urnenmodell mit Ziehen ohne Zurücklegen. Soll heißen, ich ziehe eine Karte und lege sie nicht wieder zurück, sondern behalte sie ja auf der Hand. Beim ersten Ziehen sind zwei von vier Karten Asse, die Chance auf ein Ass steht also 50:50. Habe ich bereits eine Ass gezogen, ist nur noch eine Ass im Spiel, bei drei Karten. Meine Chance auf ein Ass beträgt also 1/3 und 1/2 * 1/3 ist bekanntlich 1/6.

Was nun, wenn der Spieler mir verrät, dass er mindestens ein Ass auf der Hand hat. Dann steigt die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse auf 1/5. Warum nicht 1/3, wo es doch für die zweite Karte drei Möglichkeiten gibt? Würde er nach dem Ziehen der ersten Karte bereits rufen „Eine Ass“ (und nicht bluffen), dann wäre seine Chance auf zwei Asse tatsächlich 1/3. Aber wir wissen nicht, ob nicht die zweite Karte das Ass ist. Wir müssen deshalb anders vorgehen, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Wir schreiben alle möglichen Kombinationen auf, die ja zunächst einmal gleich wahrscheinlich sind.

Lassen wir die zweite Farbe Herz sein, die sechs Kombinationen sind dann (dahinter die Schreibweise für diese Kombination, die ich im Folgenden verwende, große Buchstaben für Ass, kleinen für 2, P für Pik, H für Herz):

Pik Ass & Herz Ass – PH

Pik Ass & Pik 2 – Pp

Pik Ass & Herz 2 – Ph

Herz Ass & Pik 2 – Hp

Herz Ass & Herz 2 – Hh

Pik 2 & Herz 2 – ph

Die Reihenfolge haben wir dabei nicht berücksichtigt, es spielt ja auch keine Rolle ob der Spieler zunächst die Herz Ass und dann die Pik Ass bekommen hat oder umgekehrt.

Fünf der sechs Kombinationen enthalten mindestens ein Ass. Wenn wir jetzt also wissen, dass der Spieler mindestens ein Ass auf der Hand hat, dann können wir die Variante ph ausschließen. Damit bleiben fünf weitere, hat der Spieler also mindestens ein Ass wissen wir, dass er in einem von fünf Fällen zwei Asse auf der Hand hat.

Und hier wird es paradox. Was, wenn er uns nun noch verrät: „Ich habe übrigens eine Pik Ass“. Eigentlich sollte sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändern, denn es macht keinen Unterschied, ob er die Pik Ass oder die Herz Ass auf der Hand hat. Aber wenn wir die oben stehende Tabelle betrachten, dann gibt es nur drei Kombinationen mit einem Pik Ass. Und damit wäre unsere Wahrscheinlichkeit für zwei Asse 1/3 – wenn alle drei Varianten gleich wahrscheinlich sind.

Hier bringen die Autoren des Artikels den Satz von Bayes ins Spiel. Wir können aber auch mit einem einfachen Gedankenexperiment zeigen, warum die Wahrscheinlichkeit auch dann bei 1/5 bleibt, wenn uns der Spieler die Farbe verrät. Dazu begeben wir uns aus der Mikro- in die Makroperspektive. Wir verlassen den Spieltisch und betrachten jetzt 6.000 Spieler, die alle dieses Spiel spielen. Wir können erwarten, dass von diesen 6.000 etwa 1.000 zwei Assen haben und 1.000 keine einzige.

Deutsches Skat- und Schafkopfblild
Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit die gleiche, wenn man statt einem französischen ein deutsches Bild und statt Pik Grün verwendet.

Wir bitten die Spieler zunächst mitzuteilen, ob sie ein Ass haben. Wer kein Ass hat, darf zum Buffet gehen. Da alle ehrlich sind und die Wahrscheinlichkeit es gut mit uns meint bleiben 5.000 zurück. Nun bitten wir diese, ihrem Gegenüber die Farbe ihres Asses zu verraten, wer zwei Asse hat darf sich eine Farbe aussuchen. Was passiert? Zumindest schränkt sich die Zahl der Spieler nicht ein. Tatsächlich sind auch nach dieser Offenlegung der Farbe noch 5.000 Spieler im Saal, von denen 1.000 ein Ass habe. Also bleibt unsere Wahrscheinlichkeit bei 1/5, auch für die Spieler, denen ihr Gegenüber gerade mitgeteilt hat, dass er einen Pik Ass auf der Hand hat.

Warum das, wenn es doch in diesem Fall nur drei Möglichkeiten gibt? Weil diese nicht gleich wahrscheinlich sind. Wir können erwarten, dass 2.000 Spieler eine Pik Ass und eine der beiden Zweien haben (Kombination Pp + Ph), 2.000 Spieler haben eine der beiden Zweien plus eine Herz Ass (Hp + Hh) und 1.000 Spieler haben beide Asse (PH). Die 1.000 Spieler mit zwei Assen können sich aber aussuchen, welche Farbe sie dem Gegenüber verraten. Gehen wir aus, dass es keine Vorlieben für eine Farbe gibt, dann nennen 500 Pik und 500 Herz. Insgesamt werden als 2.500 Spieler ihrem Gegenüber verraten, sie hätten ein Pik Ass auf der Hand. Von diesen haben 2.000 die Pik Ass plus eine Zwei und 500 beide Asse – also genau ein Fünftel. Denn von den Spieler mit zwei Assen bekennt sich ja nur jeder zweite zu Pik, die einzelnen Situationen kommen deshalb nicht gleich oft vor.

Es gibt allerdings eine Einschränkung. Wenn der Spieler uns nicht verrät, welche Farbe er hat, sondern wir ihn gezielt nach Pik Ass fragen, dann ist die Chance tatsächlich 1/3, wenn er mit ja antwortet. Worin liegt der Unterschied? Dass der Spieler in diesem Fall keine Wahl hat, welche Farbe er uns nennt. Alle 1.000 Spieler mit Pik werden antworten „Ja“. Wir haben also nicht 500 von 2.500, sondern 1.000 von 3.000, die zwei Asse auf der Hand haben.

Warum spielt die Farbe hier eine Rolle, obwohl die Farbe eigentlich keine Rolle spielt? Das wird klarer, wenn wir es umgekehrt denken. Nicht, dass wir alle betrachten, die eine Pik Ass sondern dass wir alle ausschließen, die keine haben. Und damit schließen wir eben nicht nur die aus, die gar kein Ass haben, sondern auch die, die nur ein Herz Ass haben. Gehen wir wieder in den Saal und betrachten die 6.000 Spieler. Schicken wir alle zum Buffet, die keine Pik Ass haben, dann verlassen 3.000 Leute den Saal. Von den verbleibenden 3.000 haben 1.000 beide Asse, also 1/3.

Das erklärt auch, warum es wichtig ist, ob der Spieler uns nach der ersten Karte oder erst nach beiden Karten mitteilt, dass er ein Ass hat. Tut er es bereits nach der ersten Karte, können wir jene 3.000 Spieler ausschließen, die da bereits eine Zwei gezogen haben, andernfalls nur die 1.000, die zwei Zweien haben. Teilt uns der Spieler bereits nach der ersten Karte mit, dass er ein Ass hat spielt es übrigens keine Rolle, ob wir ihn nach der Farbe fragen. So oder so ist eine von drei verbleibenden Karten eine Ass.

Nicht schon wieder: Das Ziegenproblem

Wer sich, wie ich, gerne mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigt, der wird sich jetzt sicher denken: Nicht schon wieder das Ziegenproblem!! Zugegeben, diese Frage taucht immer wieder in allen möglichen Büchern über Wahrscheinlichkeiten auf, obwohl das Ergebnis völlig offensichtlich ist. Es gibt sogar ganze Bücher dazu – und trotzdem widmet sich der Statistiker-Blog diesem Thema, wie kann das sein? Zumal auch ich ein ähnliches Problem schon mal analysiert haben. Warum also jetzt auch hier das Ziegenproblem? Ganz einfach, ich finde dass ein Punkt in den meisten Beschreibungen zu wenig Beachtung findet.

Erklärung Ziegenproblem

Das Ziegenproblem kennen deutsche Fernsehzuschauer aus der Sendung „Geh aufs Ganze“. Bekannter ist es allerdings unter dem Namen Monty-Hall-Problem, denn so war der Name des Gastgebers der US-Show „Let’s make a deal“. Der Spieler muss am Ende zwischen drei Türen wählen. Hinter zweien steht eine Ziege (in Deutschland der „Zonk“), hinter der dritten befindet sich der Hauptgewinn, ein Auto. So weit, so klar. Der Teilnehmer wählt eine Tür. Dann öffnet der Spielleiter eine zweite und fragt den Spieler, ob er wechseln will.

Sollte er wechseln lautet die Frage. Na klar, lautet die Antwort, denn wenn er wechselt wird er in zwei von drei Fällen gewinnen, bleibt er der alten Tür treu nur ein einem von drei Fällen. Hier widersprechen dann erfahrungsgemäß die meisten Zuhörer. Warum? Warum ist die Chance bei zwei Türen nicht 50:50?

Auto oder Ziege? In Deutschland war die Ziege allerdings der Zonk. Foto: Branimir Dolički (cc)
Auto oder Ziege? In Deutschland war die Ziege allerdings der Zonk. Foto: Branimir Dolički (cc)

Die Nebenbedingungen

Gerade habe ich wieder ein Buch gelesen, in dem das Problem diskutiert wurde. Viel zu wenig wurde aber auch dort herausgestellt, warum es sich lohnt zu wechseln. Die Antwort lautet: Weil es hier nur eingeschränkt um Zufall geht und es zwei Nebenbedingungen gibt, die viel zu wenig erwähnt werden.

  1. Niemals wird die Tür geöffnet, die der Kandidaten gewählt hat.
  2. Niemals wird die Tür geöffnet, hinter der der Hauptgewinn ist.

Würde eine der beiden Bedingungen nicht gelten, dann wäre die Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich 50:50. Beide Bedingungen müssen also gleichzeitig erfüllt sein.

Um die entscheidende Begründung für die scheinbar paradoxe Trefferwahrscheinlichkeit von 2/3 bei einem Wechsel noch einmal zu begründen: Das liegt daran, dass nicht nur der Zufall eine Rolle spielt, welche Tür sich öffnet.

Lösung Ziegenproblem: Verräterische Türen

Das heißt, haben wir die Tür gewählt, hinter der der Hauptgewinn ist, dann ist es doch Zufall, welche sich anschließend öffnet – allerdings auch egal. Denn wenn wir wechseln verlieren wir immer. Die meisten Leser werden mir zustimmen, dass bei der zufälligen Wahl von einer von drei Türen wir mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 1/3 richtig liegen. Mit 1/3 verlieren wir also bei einem Wechsel.

Und wenn der Gewinn hinter einer der Türen ist, die wir nicht gewählt haben? Zur Erinnerung, mit 2/3 Wahrscheinlichkeit haben wir die falsche Tür gewählt. Ausgenommen natürlich den Fall, dass wir noch andere Informationen hatten, dass uns beispielsweise der Aufnahmeleiter verraten hat, wo der Gewinn ist. Aber gehen wir davon aus, dass wir geraten haben. Dann haben wir mit 2/3 Wahrscheinlichkeit falsch geraten. Und in diesen Fällen ist es kein Zufall, welche Tür sich öffnet und welche geschlossen bleibt. Es bleibt immer die Tür geschlossen, hinter der der Hauptgewinn ist.

Haben wir Tür 1 gewählt und der Gewinn ist hinter Tür 2, dann geht immer Tür 3 auf. Ist er hinter Tür 3, geht Tür 2 auf. Immer. Mit Zufall hat das nichts zu tun.

Für Ungläubige

Damit ist das Ziegenproblem eigentlich schon erklärt. Wer es trotzdem nicht glaubt, mag einen Blick auf die Tabelle unten werfen.

Mit einem Drittel Wahrscheinlichkeit haben wir die Konstellation aus der ersten Zeile, also ein Auto hinter Tür 1 und die Ziegen hinter Tür 2 und 3. Nehmen wir an, wir wählen Tür 1. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 haben wir den Gewinn gewählt, jeder Wechsel ist sinnlos. Ist der Gewinn aber hinter Tür 2, dann würde sich zwingend die Tür 3 öffnen. Tür 1 darf ja nicht auf gehen, denn die haben wir gewählt. Tür 2 hat den Gewinn, darf sich also auch nicht öffnen. Es muss also Tür 3 aufgehen und ein Wechsel führt immer zum Erfolg. Analog gilt das auch für den dritten Fall.

Tür 1 Tür 2 Tür 3  Wahrscheinlichkeit
Auto Ziege Ziege 1/3
Ziege Auto Ziege 1/3
Ziege Ziege Auto 1/3

Das eine von uns nicht gewählt Tür zu bleibt ist also ein Hinweis. Sie hätte sich öffnen können, tut sie aber nicht. Womöglich (mit 2/3 Wahrscheinlichkeit) öffnet sie sich also nicht, weil der Gewinn dahinter ist. Das Zubleiben der Tür ist also ein Hinweis, deshalb ist es keine reine Zufallsauswahl. Für die von uns gewählte Tür gilt das nicht, sie darf sich nach der ersten Nebenbedingung nicht öffnen.

Statt eine Tür zu öffnen könnte der Moderator auch einfach sagen: „Wenn Sie wechseln verrate ich Ihnen, welche der beiden Türen die richtige ist, falls der Gewinn nicht hinter der ersten Tür befindet.“

Jetzt passt es auch wieder

Das muss auch so sein, denn wären die Chancen 50:50, dann würde das bedeuten, dass 50 Prozent der Spieler am Ende ein Auto gewinnen würden, selbst wenn sie nicht wechseln. Wie kann das sein: man wählt zufällig eine von drei Türen, hinter denen der Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/3 ist und gewinnt trotzdem am Ende in der Hälfte der Fälle?

Die Antwort ist: Gar nicht. Deshalb kann die Wahrscheinlichkeit dafür richtig zu liegen, wenn man nicht wechselt, keine 50 Prozent betragen wenn die beiden Nebenbedingungen gelten. Und wenn sie nicht gelten? Wen das interessiert, für den habe ich einen zweiten Beitrag geschrieben. Ich habe das aber ausgelagert, denn ich habe ja eine einfache Erklärung versprochen – und die lautet: Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel zu gewinnen ist 2/3, weil es nicht nur Zufall ist, wenn eine der Türen geschlossen bleibt. Und wem das kompliziert genug ist, der mag jetzt aufhören zu lesen. Für alle anderen geht es hier weiter.

Ziegenproblem II

Wir haben jetzt also gelesen, dass die Wahrscheinlichkeit mit einem Wechsel beim Ziegenproblem zu gewinnen deshalb 2/3 ist und nicht nur 1/2, weil es in zwei von drei Fällen kein Zufall ist, wenn eine Tür geschlossen bleibt. Es liegt daran, dass sie sich nicht öffnen darf, weil der Gewinn dahinter steht. Nur in einem Drittel ist es Zufall, dann aber lohnt sich der Wechsel in beiden Fällen nicht.

Was aber, wenn unsere Nebenbedingungen nicht gelten? Das ist etwas komplexer, vor allem weil unterschiedliche Spielregeln denkbar sind. Dürfen wir wechseln, wenn sich unsere Tür öffnet und nichts dahinter ist? Oder wenn sich eine andere Tür öffnet und den Gewinn enthält?

Wohlgemerkt, sind wir so dumm, dass wir selbst dann nicht wechseln, wenn wir sehen, dass der Gewinn hinter einer anderen Tür steht, werden wir in zwei von drei Fällen verlieren. Aber spannender ist natürlich die Frage, wie sieht es aus, wenn wir nie wechseln, außer wir sehen den Gewinn oder merken, dass unsere Tür leer ist. Und wie ist es, wenn wir ausscheiden, sobald einer von beiden Fällen eintritt?

Wenn Nebenbedingung 1 nicht gilt

Ohne die beiden Nebenbedingungen liegen die Chancen bei 50 Prozent, sich mit einem Wechsel zu verbessern, wenn sich eine Tür öffnet die wir weder gewählt haben noch die ein Auto enthält. Warum? Am Ende darf ein Kandidaten ohne zu wechseln doch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 gewinnen, wenn er zufällig eine von drei Türen mit gleicher Gewinnwahrscheinlichkeit gewählt hat.

Ganz einfach, hier gibt es noch einen anderen Fall. Gilt nur Nebenbedingung 1, nach der sich die vom Kandidat gewählte Tür nicht öffnen darf, dann ist in einem von drei Fällen ein Auto hinter der Tür, die sich gerade geöffnet hat. Denn das ist ja die Ausgangswahrscheinlichkeit für jede Tür, dass dahinter ein Auto steht. Nehmen wir an, dass wir Tür 1 gewählt haben. Es muss sich also Tür 2 oder 3 öffnen. Egal – hinter jeder steht mit 1/3 Wahrscheinlichkeit ein Auto und unser Kandidat ist ausgeschieden.

Tatsächlich liegt unsere Trefferwahrscheinlichkeit für einen Wechsel bei 50 Prozent, wenn wir die Wahl zwischen zwei Türen haben, von denen hinter keiner ein Auto ist. Aber das ist nur in zwei von drei Fällen der Fall. Nach dem ersten Türöffnen ist ja mit 50 Prozent Wahrscheinlichkeit das Auto aufgedeckt. Zu 2/3 darf er weiterspielen – und hier ist die Chance jetzt tatsächlich 50:50. Aber 50 Prozent von 2/3 sind eben auch nur 1/3. Wer nicht wechselt, hat also nur in 50 Prozent der Fälle recht.

Der Kandidat gewinnt also nur in einem von drei Fällen, wenn er ausscheidet, sobald das Auto aufgedeckt wurde. Anders sieht es natürlich aus, wenn der Kandidat auch dann wechseln darf. Wenn hinter Tür 2 sichtbar ein Auto steht wird kaum jemand bestreiten, dass sich wechseln lohnt. Wenn wir nicht wechseln, obwohl wir das Auto sehen, bleibt unsere Siegwahrscheinlichkeit aber auch hier bei 1/3 und wir sind selbst schuld. Sollten wir uns nicht derart dämlich anstellen, dann werden wir auch hier in zwei von drei Fällen gewinnen.

Wenn Nebenbedingung 2 nicht gilt

Etwas schwieriger ist es im zweiten Fall, wenn sich auch die Tür öffnen darf, die der Teilnehmer gewählt hat aber nicht die, hinter der der Gewinn steckt. Nehmen wir wieder an, wir haben Tür 1 gewählt. Mit einem Drittel Wahrscheinlichkeit haben wir auch hier den Gewinn ausgewählt. Also öffnet sich Tür 2 oder 3 – jeder Wechsel bedeutet aber eine Verschlechterung.

In zwei von drei Fällen ist der Gewinn aber hinter Tür 2 oder 3. In diesen beiden Fällen öffnet sich wieder mit 50 Prozent die vom Teilnehmer gewählte Tür und sie ist leer. Der Teilnehmer scheidet aus. 50 Prozent von 2/3 sind auch hier wieder 1/3.

In den anderen 50 Prozent der 2/3 ist der Gewinn hinter der Tür, die wir nicht gewählt haben. Wechseln lohnt sich.

Wenn wir also nach der ersten Runde nicht ausgeschieden sind, dann stehen die Chancen also auch hier 50:50. Aber nur in zwei Drittel der Fälle. Auch hier gewinnen wir also nur mit 1/3 Wahrscheinlichkeit, wenn wir nicht wechseln. So wie es sein sollte.

Auch hier gilt natürlich: Wenn wir noch wechseln dürfen, nachdem sich die von uns gewählte Tür geöffnet hat, lohnt sich ein Wechsel mit mehr als 50 Prozent. Keiner wird bestreiten, dass es sinnvoll ist zu wechseln, wenn unsere Tür sich geöffnet hat und sichtbar leer ist. Auch hier gewinnen wir in 2/3 der Fälle, wenn wir uns nicht dumm anstellen, egal welche Strategie wir verfolgen. Haben wir Tür 1 gewählt ist sie mit 1/3 die richtige. Sie öffnet sich nicht, wir bleiben ihr treu und gewinnen. Ist Tür 2 die richtige (ebenfalls 1/3 Wahrscheinlichkeit), öffnet sich in 50 Prozent der Fälle unsere Tür, wir sehen dass wir falsch liegen und wechseln, in den anderen 50 Prozent öffnet sich die dritte Tür und wir wechseln nicht und verlieren. Die Wahrscheinlichkeit für beide Szenarien ist 1/6 und weil das auch für den Fall gilt, dass der Gewinn hinter Tür 3 liegt gilt 2*1/6 ist 1/3.

Wenn beide Nebenbedingungen nicht erfüllt sind

Für diesen Fall ist völlig klar, dass es reiner Zufall ist, welche Tür sich öffnet. Entsprechend gelten die entsprechenden Gesetze der Wahrscheinlichkeit und die Chancen bei einem Wechsel stehen 50:50. Allerdings gibt es auch hier den Fall, dass wir ausscheiden weil der Gewinn aufgedeckt wurde oder sich unsere Tür öffnet und sie leer ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unsere Tür öffnet uns sie leer ist beträgt 1/3 * 2/3, da sie sich mit 1/3 öffnet und sie mit 2/3 leer ist, also 2/9. Mit 1/3 * 1/3 = 1/9 öffnet sich unsere Tür und sie enthält den Gewinn, wir hören auf.

Bleiben also 6/9 oder 2/3. In diesen Fällen öffnet sich eine andere Tür. In einem von drei Fällten enthält sie das Auto, also 1/3 * 2/3 = 2/9.

Bleiben 4/9. In diesen stehen die Chancen tatsächlich 50:50, so wie wir es erwarten. 50 Prozent von 4/9 sind aber nur 2/9. Zusammen mit dem Fall, dass sich unsere Tür geöffnet hat und ein Auto dahinter war 1/9 haben wir also in 3/9 oder 1/3 der Fälle gewonnen, so wie es die Wahrscheinlichkeitsrechnung erwarten lässt.

Wenn wir immer wechseln, dürfen, auch wenn das Auto oder unsere Tür aufgedeckt wurde, dann steigt unsere Siegwahrscheinlichkeit sogar auf 8/9 – aber natürlich nur wenn wir wechseln, sobald wird das Auto sehen oder unsere Tür leer ist. Aber richtig zu liegen, wenn man das Auto dort stehen sieht, hat ja auch nichts mit Zufall zu tun.