Erläuterung: Ziegenproblem

Für alle, die mit dem Ziegenproblem aus dem Beitrag „Mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit falsch“ nicht so vertraut sind, möchte ich an dieser Stelle noch mal einen kurzen Abriss geben. Wer sich intensiver damit beschäftigten möchte, kann das hier, hier oder hier tun oder Gero von Randows Buch zu dem Thema kaufen.

Eine kurze Überlegung hilft, dass logisch zu verstehen. Stellen wir uns 100 Türen vor mit einem Gewinn und 99 Ziegen. Es gelten die beiden Bedingungen:

1. Es wird niemals die vom Spieler gewählte Tür geöffnet.

2. Es wird immer eine Ziegentür geöffnet, keine mit einem Gewinn dahinter.

Nun werden nach den obigen zwei Bedingungen 98 Türen geöffnet. Spielen nun 100 Kandidaten, von denen keiner die Tür wechselt, würde am Ende mit einer sehr hohen Wahrscheinlichkeit rund jeder zweite Kandidat einen Gewinn mit nach Hause nehmen. Obwohl sie bei ihrer ersten Wahl nur eine Trefferwahrscheinlichkeit von 1/100 hatten! Warum sollte sich die Wahrscheinlichkeit ändern, nur weil der Spielleiter nicht alle Türen gleichzeitig öffnet?

Warum die Wahrscheinlichkeit sich für die zweite verbliebene Tür ändert, liegt wie im Beitrag beschrieben daran, dass wir einen Tipp vom Spielleiter bekommen haben. Er hat die Tür nicht geöffnet, obwohl er sie – im Gegensatz zur vom Spieler gewählten Tür – hätte öffnen dürfen. Dass die Tür zu bleibt, ist nämlich in jedem Fall rein zufällig.

Das sich die zweite verbliebene Tür nicht geöffnet hat, kann Zufall sein – wenn der Gewinn hinter der ersten Tür liegt (1/100). Es kann aber auch daran liegen, dass sich die Tür wegen Bedingung 2 nicht öffnen durfte. Das Türöffenen hat die gleiche Auswirkung wie wenn der Moderator sagen würde: „Wollen Sie Ihre Tür behalten oder die anderen 99 Türen wählen. Wenn sie wechseln und der Gewinn hinter einer der 99 anderen Türen liegt, verrate ich Ihnen hinter welcher.“ Oder wieder anders ausgedrückt: Zu 99 Prozent befindet sich hinter der gewählten Tür eine Ziege und in diesem Fall lohnt sich ein Wechsel.

Man kann das auch an einem Beispiel nachvollziehen, der Einfachkeit aber machen wir das wie im Original mit drei Türen.

Sie sind Spieler in der Show und haben Tür 1 gewählt. Nun gibt es drei Möglichkeiten:

Der Gewinn ist hinter Tür 1.

Der Gewinn ist hinter Tür 2.

Der Gewinn ist hinter Tür 3.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt je ein Drittel.

Im ersten Fall wird der Moderator nun entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen. Egal, durch einen Wechsel verlieren sie in jedem Fall, also in 1/3 der Fälle.

Im zweiten Fall wird der Moderator immer Tür 3 öffnen. Sie gewinnen also durch einen Wechsel.

Im dritten Fall wird der Moderator immer Tür 2 öffnen. Sie gewinnen also durch einen Wechsel ebenfalls, weil der Spielleiter sie auch hier durch das Öffnen davor bewahrt, die falsche Tür zu wählen. Deshalb sind aber die beiden Bedingungen auch so wichtig.

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