Erläuterung: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Im Beitrag ging es um die Wahrscheinlichkeit, bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 50 Prozent nach 100 Trades im Plus zu sein, wenn der mögliche Gewinn 80 Prozent des Einsatzes beträgt, der Verlust dagegen 100 Prozent. Für die meisten Leser ist es natürlich völlig klar, warum das Ergebnis 13,6 Prozent lautet. Für wieder andere ist es uninteressant. Ich habe den Rechenweg deshalb in diesen Beitrag ausgelagert.

Es geht los

Am Ende wollen wir Gewinne machen. Es muss also gelten:
x * 1,8 > 100.
1,8 deshalb, weil ja nicht nur der Gewinn ausgezahlt wird, sondern auch der Einsatz zurückgezahlt wird.

Wir brauchen also mindestens 56 Gewinne. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür aber?

Die Wahrscheinlichkeit 56 Mal hintereinander zu gewinnen ist relativ gering, nämlich 0,556. Allerdings wollen wir ja nicht 56 von 56 Mal gewinnen, sondern 56 von 100 Mal. Die Wahrscheinlichkeit 56 Mal zu gewinnen und dann 44 Mal zu verlieren ist sogar noch geringer, nämlich 0,556*0,544. Man könnte hier natürlich genauso gut schreiben 0,5100, aber das gilt nur, weil die Wahrschlichkeitkeit für Verlust und Niederlage gleich groß sind.

Lotto 56 aus 100

Allerdings bezieht sich diese Rechnung darauf, zuerst 56 Mal zu gewinnen und dann 44 Mal zu verlieren. Es gibt aber auch noch andere Wege, zu 56 Gewinnnen zu kommen. Unsere Optionen können auch erst 44 Mal aus dem Geld und dann 56 Mal im Geld sein, oder wir gewinnen mal und verlieren mal. Wie viele Möglichkeiten es da gibt kann man sich vorstellen, wenn man an eine lange Leiste mit 100 Mulden denkt, in die wir 56 Kugeln legen. Für die erste haben wir 100 Möglichkeiten. Zu jeder dieser 100 Möglichkeiten gibt es für die zweite Kugel wieder 99 weitere Möglichkeiten, also 100*99.

Manch einer kennt das noch aus der Schule, die Zahl der möglichen Zieleinläufe beim 100-Meter-Lauf mit vier Sportlern ist 4*3*2*1, also 24. Für den ersten Platz gibt es vier Möglichkeiten, ist der erste Läufer bereits im Ziel, gibt es noch drei mögliche Kandidaten für den zweiten Platz und so weiter. Man schreibt dafür auch 4!, sprich 4 Fakultät.

Hier wollen wir allerdings aber nicht alle 100 Plätze aufteilen, sondern nur 56 Kugeln auf 100 Plätze, also 100*99*98*…*45. Man kann das ausrechnen, indem man 100!/44! rechnet. Denn wenn wir 100! rechnen, geht es nach der 45 ja weiter mit …*44*43*…*1. Das können wir wieder rausrechnen, wenn wir 100! durch 44! rechnen.

Doch es gibt hier einen Unterschied zum Zieleinlauf. Wir wollen ja nicht 56 Menschen auf 100 Plätze aufteilen, sondern 56 Kugeln, die alle identisch sind. Stellen wir uns zwei Menschen vor, die auf vier Plätze verteilt werden, dann müssen wir 4! / 2! rechnen. Hier sieht es aber etwas anders aus. Bei Menschen macht es einen Unterschied, ob in einer Reihe Thomas und dann Kevin sitzen und dann zwei Plätze leer bleiben oder erst Kevin, dann Thomas und dann zwei Plätze leer sind. Bei Kugel haben wir nur den Fall Kugel, Kugel, leer, leer.

Das Problem beheben wir, in dem wir 100! nicht nur durch 44! teilen, sondern auch noch durch 56!.

Eleganter schreibt man das aber als

\binom nk

 

Das spricht man n über k, in unserem Fall 100 über 56.

3,9 Prozent ist nicht das Endergebnis

Das gibt eine ziemlich große Zahl. Weil unsere Wahrscheinlichkeit für 0,556*0,544 wiederum sehr, sehr klein ist, ergibt sich insgesamt eine kleine, aber nicht winzige Zahl, nämlich 0,039. Unsere Wahrscheinlichkeit für genau 56 Gewinne und 44 Verluste ist also 3,9 Prozent.

Das lässt sich übrigens in Excel oder einer anderen Tabellenkalkulation mit =BINOM.VERT(56;100;0,5;FALSCH) rechnen. Das FALSCH bedeutet, dass hier nichts kummuliert wird.

Die Chance auf genau 56 Gewinne wollen wir aber eigentlich auch nicht wissen, sondern die Wahrschleichkeit für mindestens 56 Gewinne. Sind es 57, 58 oder mehr ist uns das auch recht. Wollten wir unser Ergebnis im Kopf ausrechnen, müssten wir also die Berechnung jetzt für 57 und mehr Gewinne wiederholen. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird natürlich immer kleiner, weil es ja immer weniger mögliche Kombinationen gibt. Für 99 Gewinne sind es noch 100, der eine Verlust kann auf 100 verschiedenen Plätzen liegen. Für 98 sind es sogar noch 100*99 Möglichkeiten. Für 100 Gewinne gibt es dagegen nur eine Möglichkeit.

Wir können uns das natürlich auch schenken und in Excel das falsch durch ein wahr ersetzen. Weil aber Excel wie im Beitrag erwähnt rechnen Excel aber die Wahrscheinlichkeit für höchstens 56 Gewinne. Also rechnen wir umgekehrt die Wahscheinlichkeit für höchsten 44 Gewinne, das ist gleichzeitig auch die für mindestens 56 Gewinne – zumindest bei genau 100 Durchgängen.

So einfach geht die Berechnung also.

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  1. […] interessiert ist, habe ich die Erklärung in einen eigenen Beitrag ausgelagert (der findet sich hier) und erläutere hier nur kurz das […]

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